Rodar uma rotina em PHP sem fazer refresh na página

Pra começar não sei praticamente nada de Ajax...

Então se puderem me dar uma forcinha aí...

É o seguinte...

Tô precisando que uma página me devolva o resultado de uma rotina em PHP sem que seja preciso que a página atualize...

Tipo...

Eu envio uma informação de um form... tipo meu nome...

E depois aparece a resposta de meu nome criptografado com MD5() em uma caixa de texto na propria página...

Tirando a parte do PHP e HTML, como é que se faz isso em Ajax?