Afinal, pra server o Singleton?

Olá a todos.

Tenho uma dúvida que está me embaralhando a cabeça.

Estou aprendendo (tentando aprender) Singleton.

Quando leio na internet sobre o padrão Singleton, todos falam que apenas uma instância daquele determinado objeto vai estar disponível em TODA a aplicação.

Certo, então, por exemplo, se eu possuir uma conexão de banco de dados usando singleton, essa mesma conexão vai ser usada na minha aplicação, certo?

Para falar a verdade agora não sei...

Porque, afinal, para um objeto refenciando uma conexão com o banco de dados retornar sempre a mesma conexão, este objeto deveria ser statefull, certo? Pois ele deveria armazenar na memória o valor da conexão em uma variável estática e sempre retornar a mesma conexão, sem tentar abrir outra, MESMO QUE O USUÁRIO MUDE DE PÁGINA, O QUE OCASIONARIA O RECARREGAMENTO DA MESMA, certo?

Então para testar isso, incrementei uma classe de teste encontrei na net para ver se eu conseguia verificar essa característica (tirei o exemplo de .http://rubsphp.blogs...09/12/self.html)

A idéia é que, toda vez que eu recarregue a página, um valor seja incrementado na classe, mas não é o que está ocorrendo.

eis o código:

<?php
ini_set('display_errors', 1);
error_reporting(E_ALL | E_STRICT);

class teste_singleton {

 private static $instancia = null;
 private static $numero;

 /**
	* Construtor privado
	*/
 private function __construct() {
 self::$numero++;
 }

 /**
	* Nao permitir clonagem
	*/
 public function __clone() {
 throw new Exception('Singleton nao permite clonagem');
 }

 /**
	* Devolve uma instancia singleton da classe corrente
	* @return teste_singleton
	*/
 public static function get_instancia() {
 if (self::$instancia === null) {
 self::$instancia = new self();
 }
 return self::$instancia;
 }

 public function getNumero(){
 return self::$numero;
 }
}

echo teste_singleton::get_instancia()->getNumero();

?>

Minha pergunta é:

Onde estou errando? Ou fui eu que não entendi para que server o singleton?

Espero que possam me ajudar.

Grato.