Comparar datas com BETWEEN e MONTH/DAY

Galera, seguinte:

Tenho um campo date no meu banco MySql, para buscar os campos dia e mês, separei por combos, até então ok

SELECT
 *

FROM tb_cliente WHERE MONTH( datanascimento_cliente ) = '03' AND DAY( datanascimento_cliente ) = '01'

Porém quando preciso buscar um intervalo de datas como faço?

(dia/mes) inicial com (dia/mes)final

Tentei fazer algo parecido com isso porém sem sucesso

SELECT
 *

FROM tb_cliente WHERE datanascimento_cliente BETWEEN (MONTH( datanascimento_cliente ) = '03' AND DAY( datanascimento_cliente ) = '01') AND (MONTH( datanascimento_cliente ) = '03' AND DAY( datanascimento_cliente ) = '31')

Alguém pode me ajudar?

vlw e t+