Mudar dados de um banco para outro com estruturas diferentes

Olá a todos,

Eu precisava do seguinte, tenho um banco de dados com a estrutura montada e já cheio de dados inseridos. Trata-se de um banco de dados de um site. Eu montei outra estrutura mais organizada e gostaria de transferir os dados para essa nova estrutura.

Qual a melhor maneira de fazer isso, já que são milhares de registros?

Desde já agradeço a quem puder ajudar.