Retornar intervalo entre datas

Bom dia,

Já fiquei dois dias em cima do problema com pesquisa e tentativas, porém não tem jeito de resolver.

Objetivo: retornar acomodações disponíveis no intervalo entre as datas incluíndo os dias nos extremos.

Campos na Tabela: data_inicio, data_fim - Tipo dos campos Date

Valores na Tabela: data_inicio (09/05/2016) - data_fim (11/05/2016)

Situação: cliente seleciona datas 09/05 e 10/05, deve retornar resultado já que esta entre o intervalo.

PHP:

list($dia, $mes, $ano) = explode('/', $entrada);
$chegada = ($ano.'-'.$mes.'-'.$dia);

list($dia, $mes, $ano) = explode('/', $saida);
$saida = ($ano.'-'.$mes.'-'.$dia);

 

SQL utilizada: ("SELECT * FROM promocoes LEFT JOIN acomodacoes ON acomodacoes.acomodacoes_id = promocoes.acomodacao WHERE ( promocoes.data_inicio >= '$chegada' ) AND (promocoes.data_fim <= '$saida' )")

O que tenho conseguido de retorno é se forem selecionadas as datas limites 09 e 11, porém não se selecionado o dia 10 em uma delas. Tentei converter de string para date, sem sucesso. Mas acho que o problema é esse, só não sei como resolver.

Desde já agradeço.