Como Direcionar o resultado do formulário para a mesma seção que o form se encontra?

Galera, é o seguinte.

Estou criando meu site todo em ancoras(na verdade só falta isso para terminar).  Inicio, sobre, Serviços, e Contato. Quando clico em cada link do menu principal, esse link me encaminha para o respectivo local dentro da página, sendo assim, clicando em contato eu desco o site inteiro até a ultima seção. Nesta Seção eu criei um formulário, com os campos: Nome, email, Telefone, Cidade e mensagem, e abaixo eu coloquei o botão enviar.

No arquivo php eu recebo os dados, encaminho ao meu email, e redireciono para a pagina de obrigado. Neste caso, quando eu clico no botão de submit, este botão me envia o email contendo os dados e abre uma pagina diferente da que estou com a mensagem obrigado.

O que eu quero é: Que quando eu clicar no botão submit, essa mensagem de obrigado apareça no mesmo local que eu estou na página principal. Ou seja, clicar no botão enviar, o formulário sumir e no lugar dele aparecer uma mensagem de obrigado, sem atualizar o site principal que eu estou.

Segue codigo HTML:

<form action="enviacontato.php" class="form-contact" name="form" method="post" tabindex="1">
	<input type="text" class="form-contact-input" name="nome" placeholder="Nome" required />
	<input type="email" class="form-contact-input" name="email" placeholder="E-mail" required />
	<input type="tel" class="form-contact-input-menor" maxlength="15" id="telefone" name="telefone" placeholder="Telefone" required />
	<input type="text" class="form-contact-input-menor" name="cidade" placeholder="cidade" />
	<textarea class="form-contact-textarea" name="mensagem" placeholder="Deixe uma mensagem" required></textarea>
 <button type="submit" class="form-contact-button">Enviar</button>
</form>

	Segue o Código PHP:

<?

$destinatario = "email@email.com";

$nome = $_REQUEST['nome'];
$email = $_REQUEST['email'];
$telefone = $_REQUEST['telefone'];
$cidade = $_REQUEST['cidade'];
$mensagem = $_REQUEST['mensagem'];
$assunto = "Contato Site";

$body = "===================================" . "\n";
$body = $body . "FALE CONOSCO - FORMULÁRIO DO SITE" . "\n";
$body = $body . "===================================" . "\n\n";
$body = $body . "Nome: " . $nome . "\n";
$body = $body . "Email: " . $email . "\n";
$body = $body . "Telefone: " . $telefone . "\n";
$body = $body . "Cidade: " . $cidade . "\n";
$body = $body . "Mensagem: " . $mensagem . "\n\n";
$body = $body . "===================================" . "\n";

mail($destinatario, $assunto , $body, "From: $email\r\n");

header("location:obrigado.html");
?>

	Então é isso galera, espero que me ajudem, Vale =D